一个冷门的数学公式，2022高考全国卷I却要用到，您会用吗？-南水北调浪费多少

棱台的体积公式，应该算是数学公式中比较冷门的吧！反正老黄原先是没有记住的。不过老黄不用参加高考，记不记得住，没有什么关系。但是2022年参加全国卷I高考的考生，如果记不住这个公式，可就没有那么幸运了。

因为下面这道高考数学全国卷I的选择题，如果不用棱台的体积公式运算的话，出错的概率是很大的。老黄通过笔算，运算了好几次，得到的结果都不准确。就算笔算能力很强，不运用公式，也会浪费许多宝贵的考场时间。题目是这样的：

南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库. 已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km^2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km^2. 将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为( )（

根号7

≈2.65）

A. 1.0×10^9m^3；B. 1.2×10^9m^3；C. 1.4×10^9m^3；D. 1.6×10^9m^3

这道题在单位上虽然有点不同，但出题人并没有在单位上设计陷阱，也算是手下留情了吧。

分析：只要考生记得棱台的体积公式：V=h(S1+S2+根号(S1*S2))/3，就可以比较轻松地解决这个问题。因为题中各个数据都已经明确给出来了，棱台的高h=9m, 一个底面面积S1=140.0

×10^6m^2, 另一个底面面积S2=180×10^6m^2，代入公式就可以得到：

V=9×(140+180+根号(140×180))

×10^6/3约等于1.4×10^9m^3.

因此选C. 如果用这种方法，解这道题，用不了3分钟的时间。如果不记得公式，解决这个问题，倒也不算很难。就是很花时间，也很容易出错。这时我们要把棱台各侧棱延长，使之变成一个棱锥，然后运用“整个棱锥的体积，减去棱台下方(或上方)棱锥的体积”的方法，来求棱台的体积。如图：

这时，仍记棱台的高为h=9m，整个棱锥的高为h'，那么由图中的相似三角形，可以得到h'/(h'-h)=根号(180/140)=3倍根号(1/7). 这是“相似图形边的比等于面积比的算术平方根”的应用。

从而可以解得整个棱锥的高h'约等于76m. 现在就可以求棱台的体积了，并求得答案仍为C. 讲起来很轻松，实际运算过程很麻烦。这样的解法，没有5分钟以上，是解不出来的。不要小看两种解法之间2分多钟的差别，对高考的数学成绩，可能起到决定性的作用。

最后老黄要给大家推导一下，棱台的体积公式是怎么得到的。因为只有经过推导，才能把这个公式记牢。您也可以自己动手推推看。

由h'/(h'-h)=根号(S1/S2)，可以化得h'(根号(S1/S2)-1)=h根号(S1/S2)，

从而解得h'=h根号S1/(根号S1-根号S2)=h(S1+根号(S1S2))/(S1-S2).

V=hS1(S1+根号(S1S2))/(3(S1-S2))-S2(h(S1+根号(S1S2))/(S1-S2)-h)/3

=h((S1^2+S1根号(S1S2))/(S1-S2)-(S2^2+S2根号(S1S2))/(S1-S2))/3

=h(S1+S2+根号(S1*S2))/3.

证明的过程，其实就相当于第二种方法的解题过程。这告诉我们，平时做了充分的准备，高考时就会省时省力；平时没有做足准备，那么平时应该做的事情，就会留到高考考场上去完成，费时又费力，必然会影响高考成绩。这也是“考场一分钟，场外十年功”的道理吧！

ogp测量仪测高度

OGP

三次元影像仪

光学影像量测仪

相关内容