一场从初一到初三的穿越之旅，试看销售利润问题“七十二变”-网上参考书利润有多少

数学应用题对学生的阅读理解和建模能力有较高的要求，学生面对复杂的问题背景往往有畏难情绪。那我们本期就以北师大版本教材中的销售利润问题为载体，由浅入深，来一场从初一到初三的穿越之旅吧，祝小伙伴们旅途愉快。

旅途出发

一种进价为每件20元的T恤，若销售单价为30元，则每周可卖出400件。为提高利润，欲对该T恤进行涨价销售。经过调查发现：

每涨价1元，每周要少卖出20件。

A.途径初一站

涨价多少元时，销售量降至每周340件？

分析：

学生从题目中的背景不难找到等量关系，建立一元一次方程的模型。

设涨价x元时，销售量降至每周340件，

则：400-20x=340， 解得：x=3

B.途径初二站

为减少库存，规定每周销售量不少于340件，则最多可以涨价多少元？

分析：

此时与初一相比，等量关系变为不等关系，一元一次方程模型变为一元一次不等式模型。

设可涨价x元，则400-20x≧340,解得：x≦3

C.途径初三站

涨价多少元时，可实现每周4420元的销售利润？

分析：

此时情况较初一、初二复杂，等量关系由1个变为2个，依然设涨价x元。

单件利润=售价-成本

总利润=单件利润×销售量

单件利润=30+x-20 ，销售量=400-20x

则（30+x-20）（400-20x）=4420， 解得：x=3或7

因为等量关系由1个变成了2个，方程也从一元一次方程升级为一元二次方程。

旅途小结1：

以起始站这个简单的问题背景为载体，我们经历了一元一次方程、不等式、一元二次方程这种刻画数量关系的基本模型。但刻画现实世界数量关系的，除了方程和不等式之外，还有函数模型。接下来，我们继续向前开进。

旅途风景1：

涨价多少元时，每周的销售利润最大？

分析：

此时与初三站的等量关系一致，只是总利润从求具体数据4420变为求最大值，那么一元二次方程也就变成了二次函数。

设涨价x元，每周总利润为w元，则

W=（30+x-20）（400-20x）

=-20(x+10)(x-20)

∵-20<0,开口向下，函数有最大值，对称轴为直线x=(-10+20)/2=5，

∴当x=5时，w有最大值4500元。

旅途风景2：

为减少库存，每周要完成不少于360件的销售任务，那么每周的销售利润最大值是多少？

分析：

此时与风景1相比，多了销售任务的限制条件，也就对x的取值范围做了限制。

设涨价x元，每周总利润为w元，则

销售量为：400-20x≧360，x≦2

W=（30+x-20）（400-20x）

=-20(x+10)(x-20)

∵-20<0,开口向下，

对称轴为直线x=(-10+20)/2=5，

但x≦2，当x≦5时，w随x的增加而增加，

∴当x=2时,w有最大值4320元。

旅途小结2：

风景1和2都是二次函数最大值的问题，前者的最大值可以在对称轴的位置取到，后者因为自变量受到条件限制，不能在对称轴的位置取到。那么，除了二次函数模型外，旅途中有没有一次函数的模型呢？继续向前开进。

旅途风景3：

经过调查发现：每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间是一次函数关系，当销售单价为35元时，每周可卖出300件；当销售单价为40元时，每周可卖出200件。你能求出销售量与销售单件之间的函数关系式吗？

分析：

既然明确售量y（件）与销售单价x（元）之间是一次函数关系，可用待定系

数法求解析式。

设销售量与销售单价之间的函数关系为y=kx+b(k≠0)

将（35，300），（40，200）

代入y=kx+b，得：

35k+b=300

40k+b=200

解得：k=-20, b=1000

∴y=-20x+1000

说明：函数有关系式、列表格、图像法三种表示方法。销售量和销售单价之间的一次函数关系还可以有如下的两种表达方式：

表格法：

经过调查发现：每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间是一次函数关系，

具体关系如下面表格所示：

分析：两点确定一条直线，从表格中随意挑选2组数据都可以用待定系数法求出函数表达式，但为了计算方便，我们通常选择易算的数据如（35，300），（40，200）.

图像法 ：

经过调查发现：每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间是一次函数关系，

具体关系如下图所示：要实现每周4420元的销售利润，销售单价应定为多少元？

分析：为得到一次函数的解析式，从一次函数的图像上任取两点坐标代入即可。

旅途总结：

面对复杂的问题背景 ，我们可以先从最简单的情形看起，这是解决任何复杂问题的常用策略。数学问题尤其如此，在应用题中，面对未知量，我们要先知道已知量，然后在未知和已知之间寻找等量关系或不等关系，建立未知和已知的联系。在今天的旅途中，围绕商品销售问题，从初一到初三，我们经历了一元一次方程、一元一次不等式、一次函数和二次函数的穿越之旅。感受到了方程、不等式和函数模型在刻画现实世界中数量关系的神奇作用，也感受到了数学知识这种层层递进的魅力。

（文章改编源于袁朝川教师工作室陈军晓的文章，若有建议留言,会及时处理）

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